A sequência de Fibonacci é uma das mais famosas e surpreendentes descobertas matemáticas, continuando a inspirar cientistas, engenheiros, artistas e investigadores em todo o mundo. Esta mostra a profunda ligação entre a matemática e os processos naturais, culturais e tecnológicos. Este conceito universal serve como um exemplo vívido de como ideias matemáticas abstratas podem encontrar aplicação prática em vários campos da atividade humana, afirmando a ideia da interligação de todos os fenómenos no mundo. A sequência de Fibonacci é utilizada ativamente, incluindo na negociação nos mercados financeiros. Na plataforma MetaTrader 4 (MT4), entre as ferramentas gráficas incorporadas, pode encontrar-se a opção Desenhar a Retração de Fibonacci. Ao utilizá-lo, um negociante pode identificar potenciais níveis de suporte e resistência, e calcular possíveis pontos de inversão de preços. Quem era este génio matemático e o que implicava a sua sequência?
Leonardus Pisanus
Leonardo de Pisa, mais conhecido por Fibonacci, nasceu por volta de 1170 em Pisa (uma cidade-estado, atualmente parte de Itália). O próprio Leonardo nunca se chamou a si próprio "Fibonacci". A primeira menção conhecida de “Leonardo Fibonacci” aparece nos registos de Perizolo da Pisa, um notário do Sacro Império Romano-Germânico, do ano 1506. A palavra Fibonacci é uma contração de duas palavras, “filius Bonacci”, que aparecia na capa do “Livro do Ábaco”, e possivelmente significava “filho de Bonacci”. Segundo outra teoria, “Bonacci” poderia ser interpretado como uma alcunha que significa “afortunado”. O matemático assinava-se habitualmente como “Bonacci”, embora por vezes também usasse o nome “Leonardo Bigollo” (a palavra “bigollo” no dialeto toscano significava “vagabundo” e também “ocioso”).
Tendo crescido no seio de uma família de comerciantes, Leonardo foi introduzido desde muito cedo no comércio e nos aspetos práticos da matemática, o que moldou significativamente os seus interesses e realizações científicas. O seu pai viajava frequentemente para a Argélia para tratar de assuntos comerciais, onde Leonardo estudou matemática com professores árabes. Mais tarde, Fibonacci visitou o Egipto, a Síria e Bizâncio, familiarizando-se com as obras de matemáticos antigos e indianos em tradução árabe. Com base nestes conhecimentos, Fibonacci escreveu vários tratados matemáticos, o mais significativo dos quais, o “Livro do Ábaco” (em latim: Liber abaci), foi publicado pela primeira vez em 1202, com uma edição revista em 1228.
Este livro foi dedicado à exposição e promoção da aritmética decimal e lançou as bases para a difusão dos números indo-arábicos, incluindo o conceito de zero. Nesta obra, Fibonacci explorou o potencial destes números, até então incompreendidos, mudando radicalmente a matemática europeia. É importante notar que o “Livro do Ábaco” foi escrito numa linguagem simples, muito mais clara do que os seus protótipos antigos e islâmicos. Os problemas práticos que apresentava, destinados principalmente aos comerciantes, facilitaram a sua fama e popularidade.
O Problema da Reprodução dos Coelhos
A contribuição mais conhecida de Fibonacci para a matemática vem dos números que levam o seu nome. O problema da reprodução dos coelhos, descrito no “Livro do Ábaco”, é um exemplo clássico que levou à formulação da famosa sequência. Este problema foi proposto para ilustrar o princípio do crescimento da população de coelhos. É o seguinte: suponhamos que existe um par de coelhos recém-nascidos, um macho e uma fêmea. Os coelhos começam a reproduzir-se quando atingem a idade de um mês. No final de cada mês, cada par de coelhos adultos produz um novo par de coelhos (um macho e uma fêmea). Supondo que os coelhos não morrem e continuam a reproduzir-se de acordo com estas regras, quantos pares de coelhos haverá num ano?
A essência da resolução do problema reside no facto de que o número de pares de coelhos em cada mês subsequente é igual à soma do número de pares no mês anterior com o número de pares que nasceram no mês anterior. Isto deve-se ao facto de cada par adulto contribuir com mais um par para a contagem total. Assim, a sequência tem o seguinte aspeto: (0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, e assim por diante, onde cada número é a soma dos dois números anteriores. Esta sequência ficou conhecida como a sequência de Fibonacci.
A Relação com a Proporção Áurea
A sequência de Fibonacci não só demonstra um modelo matemático de crescimento populacional, como também evidencia a interação entre a matemática e as leis naturais, estabelecendo uma ligação estreita com a Proporção Áurea.
As origens da Proporção Áurea remontam à história. Alguns estudos sugerem que os antigos egípcios poderiam ter tido conhecimento dela, particularmente na construção das pirâmides, embora as provas possam ser interpretadas de várias maneiras. A primeira exposição sistemática conhecida dos princípios da Razão Áurea é atribuída ao antigo matemático grego Euclides, que na sua obra “Elementos” descreveu a divisão de um segmento em “razão extrema e média”. Euclides estabeleceu as bases matemáticas desta proporção, mas não lhe atribuiu o valor estético que tem atualmente. Entre os exemplos práticos subsequentes desta proporção na Grécia Antiga encontra-se o famoso Partenon em Atenas (447-438 a.C.), atribuído aos arquitetos Ictinus e Callicrates.
Durante o Renascimento, o interesse pela Proporção Áurea aumentou à medida que artistas e arquitetos como Leonardo da Vinci e Le Corbusier começaram a utilizá-la ativamente nas suas obras, esforçando-se por alcançar a harmonia e a perfeição da forma. Leonardo da Vinci explorou a Proporção Áurea e aplicou-a nas suas obras famosas, incluindo a "Mona Lisa" e o "Homem Vitruviano". Referiu-se à Proporção Áurea como a "Proporção Divina", destacando o seu profundo significado para a arte e a arquitetura.
Então, o que é essa “Proporção Divina”? É um número irracional, denotado pela letra grega φ (phi), aproximadamente igual a 1,618033988749895. Esta proporção surge quando uma linha (ou outro objeto) pode ser dividida de tal forma que a razão do todo para a parte maior é igual à razão da parte maior para a menor.
A ligação entre a sequência de Fibonacci e a Razão Áurea manifesta-se no facto de que, quanto mais avançamos na sequência, mais a razão de dois números de Fibonacci consecutivos se aproxima da Razão Áurea. Por exemplo, dividindo o número 21 pelo número anterior na sequência, 13, obtém-se aproximadamente 1,615. À medida que os números da sequência aumentam, este rácio aproxima-se de 1,618, ou a "Proporção Divina".
Esta relação reflete-se não só na matemática, mas também na natureza, na arte, na arquitetura e noutros campos, onde as proporções próximas da Proporção Áurea são consideradas especialmente harmoniosas e esteticamente agradáveis. As suas propriedades únicas e a personificação da ideia de harmonia fazem da Proporção Áurea um eterno objeto de estudo e aplicação.
Utilizar os Números de Fibonacci
A estreita ligação da sequência de Fibonacci com a Proporção Áurea faz dela uma ferramenta única para analisar e compreender formas e fenómenos naturais. Os números de Fibonacci encontram-se em muitos aspetos de vários domínios científicos, desde a disposição das folhas e flores nas plantas até às espirais das galáxias. Na música, alguns compositores estruturaram as suas obras definindo os comprimentos dos segmentos da melodia ou da harmonia com números de Fibonacci.
Em biologia, estes números explicam a disposição das folhas, dos ramos e até das sementes nas flores, o que ajuda a maximizar a exposição à luz solar e a outros recursos. Por exemplo, nos girassóis, o número de espirais de sementes numa direção e na outra corresponde frequentemente a números de Fibonacci consecutivos. Tal como no problema original do coelho, esta sequência pode modelar cenários realistas de crescimento populacional para várias espécies biológicas.
Na física quântica, sequências semelhantes às de Fibonacci podem descrever certas propriedades dos quasicristais e de outras estruturas complexas. A disposição dos átomos nas moléculas de alguns compostos químicos segue uma sequência análoga à de Fibonacci, afetando as suas propriedades físicas e químicas. Em programação, a sequência de Fibonacci é muito utilizada para o ensino de algoritmos recursivos e iterativos. Tem sido aplicada em alguns modelos de inteligência artificial para otimizar os processos de aprendizagem e o reconhecimento de padrões. É também utilizada na teoria da otimização e no desenvolvimento de algoritmos eficientes, nomeadamente para avaliar a complexidade de problemas, otimizar consultas a bases de dados e melhorar o desempenho de sistemas.
A investigação em psicologia mostra que as pessoas utilizam intuitivamente princípios semelhantes aos da sequência de Fibonacci quando tomam decisões em situações de incerteza, por exemplo, quando avaliam probabilidades. Este fenómeno encontrou aplicação na negociação nos mercados financeiros, fundindo a matemática e a intuição do mercado, que discutiremos em pormenor num artigo separado.
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